Фьючерсы: математика ценообразования (паритет, влияние ставок и дивидендов)
Краткое содержание:
Теоретическая цена фьючерса определяется через паритет с базовым активом. Разбираем формулу стоимости, влияние процентных ставок, дивидендов и хранения. Примеры расчёта.
Фьючерс – это контракт на покупку или продажу актива в будущем по заранее определённой цене. Но как определяется эта цена? Почему она обычно отличается от текущей цены базового актива? Ответ даёт модель паритета, известная как «cost of carry». Она учитывает затраты на финансирование, хранение и доходы от актива (например, дивиденды).
Ключевая идея: фьючерсная цена равна сегодняшней цене актива, увеличенной на стоимость хранения (проценты, складские расходы) и уменьшенной на доходы от актива (дивиденды, купоны).
1. Базовая модель паритета (для активов без дивидендов)
Для финансового актива, который не приносит промежуточного дохода (например, бескупонная облигация, индекс без учёта дивидендов), теоретическая цена фьючерса выражается формулой:
F = S · er·T или F = S · (1 + r·T) (для непрерывного и простого процента соответственно)
где:
- F – теоретическая фьючерсная цена;
- S – текущая спот-цена актива;
- r – безрисковая процентная ставка;
- T – время до истечения контракта (в годах).
Эта формула основана на идее, что инвестор может либо купить актив сейчас, заняв деньги под r, либо купить фьючерс и вложить эквивалентную сумму под r. Арбитражные операции будут удерживать цены вблизи этого уровня.
Пример 1. Акция стоит 1000 ₽, безрисковая ставка 10% годовых, контракт на 3 месяца (0,25 года). Тогда F = 1000 · e0,10·0,25 ≈ 1000 · 1,0253 = 1025,3 ₽.
2. Учёт дивидендов или купонного дохода
Если актив приносит дивиденды, то текущая стоимость актива уменьшается на приведённую стоимость этих доходов. Формула приобретает вид:
F = (S – I) · er·T
или, если дивиденды выражаются в виде непрерывной дивидендной доходности q:
F = S · e(r – q)·T
где I – приведённая стоимость дивидендов, ожидаемых до истечения фьючерса.
Пример 2. Акция стоит 1000 ₽, ожидается дивиденд 20 ₽ через 2 месяца, ставка 10% годовых. Фьючерс на 3 месяца. Приведённая стоимость дивиденда I = 20 · e–0,10·(2/12) ≈ 20 · 0,9835 = 19,67. Тогда F = (1000 – 19,67) · e0,10·0,25 ≈ 980,33 · 1,0253 ≈ 1005,1 ₽.
3. Товарные фьючерсы и cost of carry
Для товаров (нефть, зерно) добавляются затраты на хранение (складские расходы, страховка). Обозначим затраты на хранение как u (в процентах от стоимости актива в год). Тогда:
F = S · e(r + u – q)·T
где q – «удобная доходность» (convenience yield) – неявная выгода от владения физическим товаром (иногда отрицательная). В простейшем случае, если товар не приносит дохода и затраты на хранение фиксированы в денежном выражении, формула преобразуется.
4. Пример для индекса акций
Фьючерс на индекс РТС или МосБиржи учитывает дивидендную доходность. Если индекс S = 3000 пунктов, безрисковая ставка 9% годовых, дивидендная доходность 3% годовых, срок 6 месяцев (0,5 года). Теоретическая цена:
F = 3000 · e(0,09 – 0,03)·0,5 = 3000 · e0,03 ≈ 3000 · 1,03045 = 3091,4 пункта.
5. Арбитражные соотношения
Если рыночная цена фьючерса отклоняется от теоретической, возникает возможность для арбитража:
- Контанго: цена фьючерса выше теоретической – можно продать фьючерс и купить базовый актив (если это физически возможно).
- Бэквордация: цена фьючерса ниже теоретической – можно купить фьючерс и продать актив (или зашортить).
Арбитражные операции удерживают цены в равновесии.
Заключение
Математика ценообразования фьючерсов основана на простом принципе: цена фьючерса должна исключать возможность безрискового арбитража. Формулы паритета позволяют оценивать справедливую стоимость и понимать влияние макроэкономических факторов (ставки, дивиденды). На практике фактическая цена может колебаться из-за ожиданий, ликвидности и ограничений на арбитраж, но теоретическая модель служит надёжным ориентиром.
Дополнительные материалы
- Деривативы и управление рисками