Доходность и риск портфеля: учимся считать математическое ожидание
Краткое содержание:
Как оценить доходность портфеля и его риск? Разбираем понятия ожидаемой доходности, дисперсии и ковариации на простых примерах. Основы портфельной теории без лишней математики.
Любой инвестор хочет, чтобы его портфель приносил доход, но не любит риск. Как измерить и то, и другое? В финансах для этого используют статистические показатели: ожидаемую доходность (математическое ожидание) и дисперсию (или стандартное отклонение) как меру риска. В этой статье мы на пальцах разберём, как считать доходность портфеля и его волатильность, даже если вы не математик.
Главная идея: доходность портфеля – это средняя взвешенная доходностей активов, а риск зависит не только от рисков отдельных бумаг, но и от того, как они движутся вместе (ковариация).
Ожидаемая доходность портфеля
Если портфель состоит из нескольких активов, его ожидаемая доходность – это просто средневзвешенная ожидаемых доходностей каждого актива.
Формула:
E(Rp) = w₁·E(R₁) + w₂·E(R₂) + … + wₙ·E(Rₙ)
где wᵢ – доля актива i в портфеле (сумма долей = 1), E(Rᵢ) – ожидаемая доходность актива i.
Пример. У вас портфель из двух акций: А (доля 40%) и Б (доля 60%). Ожидаемая доходность А – 12%, Б – 8%. Тогда ожидаемая доходность портфеля = 0,4·12 + 0,6·8 = 4,8 + 4,8 = 9,6%.
Риск портфеля: дисперсия и стандартное отклонение
Риск портфеля измеряется дисперсией (или её квадратным корнем – стандартным отклонением). Она показывает, насколько фактическая доходность может отклоняться от ожидаемой. Дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий отдельных активов, но и от их взаимного движения – ковариации.
Для двух активов формула дисперсии портфеля:
Var(Rp) = w₁²·Var(R₁) + w₂²·Var(R₂) + 2·w₁·w₂·Cov(R₁,R₂)
где Var(R₁) – дисперсия актива 1, Cov(R₁,R₂) – ковариация между доходностями активов 1 и 2.
Ковариация показывает, насколько доходности двух бумаг изменяются вместе. Положительная ковариация означает, что в среднем они движутся в одном направлении, отрицательная – в противоположные. Чем меньше ковариация, тем лучше диверсификация, тем ниже риск портфеля.
Вместо ковариации часто используют коэффициент корреляции (ρ), который принимает значения от –1 до +1. Связь: Cov(R₁,R₂) = ρ · σ₁ · σ₂, где σ – стандартные отклонения.
Пример расчёта риска двухактивного портфеля
Пусть для акций А и Б известны стандартные отклонения: σₐ = 20%, σб = 15%. Коэффициент корреляции между ними ρ = 0,5. Доли те же: wₐ=0,4, wб=0,6.
Сначала находим ковариацию: Cov = ρ·σₐ·σб = 0,5 · 0,20 · 0,15 = 0,015 (или 1,5%²).
Дисперсия портфеля = 0,4²·0,20² + 0,6²·0,15² + 2·0,4·0,6·0,015 = 0,16·0,04 + 0,36·0,0225 + 0,48·0,015 = 0,0064 + 0,0081 + 0,0072 = 0,0217. Стандартное отклонение = √0,0217 ≈ 0,1473 = 14,73%.
Заметьте: средневзвешенное стандартных отклонений было бы 0,4·20 + 0,6·15 = 8 + 9 = 17%. Реальный риск портфеля (14,73%) оказался ниже благодаря неполной корреляции.
Как эти знания помогают на практике
- Диверсификация: комбинируя активы с низкой или отрицательной корреляцией, можно снизить общий риск портфеля без уменьшения ожидаемой доходности.
- Оптимизация: на основе этих формул можно подбирать доли так, чтобы риск был минимальным при заданной доходности.
- Понимание риска: зная стандартное отклонение портфеля, можно примерно представить, в каком интервале будет колебаться доходность (например, ±2σ).
Заключение
Математическое ожидание, дисперсия и ковариация – основа портфельной теории Марковица. Научившись их считать, вы сможете осознанно подходить к формированию портфеля, а не просто «складывать яйца в разные корзины». Для расчётов удобно использовать Excel или специальные программы, но понимать принципы необходимо.
Дополнительные материалы
- Портфельная теория Марковица